Saturday, April 08, 2006

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (1)

กฎแห่งจำนวนมาก บอกกับเราว่า ถ้าข้อมูลตัวอย่างที่สุ่มมามีจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยที่ได้ก็จะใกล้กับค่าเฉลี่ยจริง ๆ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (Central Limit Theorem) ให้ข้อมูลที่มากขึ้นกับเรา นั่นคือ ลักษณะของการแจกแจงของค่าเฉลี่ยที่ได้เป็นอย่างไร

Central Limit Theorem กล่าวว่าการแจกแจง (distribution) ของค่าเฉลี่ยเมื่อจำนวนข้อมูลที่สุ่มมามีจำนวนมากจะเข้าใกล้การแจกแจงปกติ (Normal distribution) ซึ่งจะมีรูปโค้งเป็นแบบระฆังคว่ำ (สุดฮิต) ดังรูปด้านล่าง


(รูปจากวิกิพีเดีย)

ในรูปแสดงกราฟการแจกแจงปกติที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนต่าง ๆ กัน

ค่าความหนาแน่นน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติซึ่งมีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma^2$ คือ $f(x) = 1/(\sigma\sqrt((2\pi)))\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$

การแจกแจงปกตินี้ถูกนิยามขึ้นโดย Abraham de Moivre (ราชบัณฑิตเรียกเขาว่า เดอมัวฟวร์) ซึ่งใช้การแจกแจงนี้ในการประมาณค่าของการแจกแจงทวินามของจำนวนครั้งที่โยนเหรียญได้หัวจากการโยนเหรียญที่เป็นกลาง 1800 ครั้ง จากนั้น Laplace ได้ขยายทฤษฎีของ de Moivre ให้ใช้ได้กับการแจกแจงทวินามใด ๆ

ถ้าเราทดลองแบบสุ่มไม่ขึ้นต่อกัน $n$ ครั้ง แต่ละครั้งจะทดลองสำเร็จด้วยความน่าจะเป็น $p$ ตัวแปรสุ่มที่นับจำนวนครั้งของการทดลองสำเร็จจะมี การแจกแจงทวินาม ยกตัวอย่างเช่นจำนวนที่ได้หัวจากการโยนเหรียญที่เป็นกลาง 1800 ครั้ง มีการแจกแจงแบบทวินาม ที่มีค่า $n=1800$ และ $p=0.5$ เป็นต้น

ครั้งต่อไปเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทท้องถิ่นเดอมัวฟวร์-ลาปลาส (local theorem of DeMoivre-Laplace)

2 comments:

Parinya Chalermsook said...

อืม ....

ผมต้องมีบล็อกเพิ่มขึ้นก็เพราะว่าถ้าจะ comment ที่บล็อกนี้มันต้องล็อกอินอะ

ยังงัยก็ตามอะ ... คงไม่มีเวลาเขียนเล่นมากนัก ... งานหนักจะตายอยู่แล้ว

jittat said...

อ้าว เฮ้ย จริงดิ
เดี๋ยวไปเปิดก่อน โทษที โทษที