อสมการของเชบิเชฟ

จะพิสูจน์กฎแห่งการมีจำนวนมาก เราจะใช้ต้อง อสมการของเชบิเชฟ (ดูรายละเอียดแบบเป็นทางการได้ที่ วิกิพีเดียไทย) ซึ่งกล่าวว่าถ้าตัวแปรสุ่ม $X$ มีค่าคาดหวัง $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma^2$ เราจะได้ว่า
$\Pr[|X-\mu|\geq t]\leq (\sigma^2)/(t^2)$

ก่อนอื่นต้องระบุก่อนว่าผมไม่ค่อยแน่ใจว่าบล็อกนี้จะเขียนให้ใครอ่าน คือ.. ไม่ค่อยแน่ใจว่าต้องเขียนถึงเรื่องพื้นฐานแค่ไหน เป้าหมายจริง ๆ ผมพยายามจะเขียนเกี่ยวกับ central limit theorem และการพิสูจน์ (เพราะว่าตอนนี้กำลังอ่านเรื่องที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อยู่) ผมก็จะเขียนลึกบ้างตื้นบ้างตามสะดวกแล้วกันนะครับ

คิดว่าหลาย ๆ คนคงเคยเห็นการพิสูจน์อสมการของเชบิเชฟที่ใช้อสมการของมาร์คอฟแล้ว ผมเลยจะเขียนการพิสูจน์โดยตรงแทน (ซึ่งมีแนวคิดเหมือนกัน) ผมตามหนังสือของ Gnedenko ครับ

เอากรณีที่เป็นดิสครีตแล้วกันนะครับ เราทราบว่า
$\Pr[|X-\mu|\geq t] = \sum_{x:|x-\mu|\geq t}\Pr[X=x]$
สังเกตว่าในส่วนที่เราหาผลรวมนั้น $(|x-\mu|)/t\geq 1$ เราจะได้
$\sum_{x:|x-\mu|\geq t}\Pr[X=x]\leq \sum_{x:|x-\mu|\geq t}((|x-\mu|)/t)^2\Pr[X=x] $
$= 1/(t^2) \sum_{x:|x-\mu|\geq t}(x-\mu)^2\Pr[X=x]$
เนื่องจาก $(x-\mu)^2$ นั้นไม่น้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นเราสามารถขยายขอบเขตของการหาผลรวมได้ โดยไม่ทำให้ผลที่ได้ลดลง นั่นคือ
$\sum_{x:|x-\mu|\geq t}\Pr[X=x]\leq 1/(t^2) \sum_{x=-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\Pr[X=x]=(\sigma^2)/(t^2)$
เพราะว่า $\sum_{x=-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\Pr[X=x]=\sigma^2$ ตามนิยามของความแปรปรวน