กฎแห่งการมีจำนวนมาก (1)
(ในบล็อก wonam.exteen.com ผมมักจะเขียนเรื่องทั่ว ๆ ไป แต่สำหรับบล็อกนี้ ผมจะพยายามเีขียนเรื่องที่เกี่ยวข้องกับวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ซึ่งอาจเป็นเรื่องที่ผมศึกษาอยู่ หรือไปผ่าน ๆ ตามา)
ให้เหรียญที่เที่ยงตรงมาหนึ่งอัน โยน 2 ครั้ง แล้วนับจำนวนหัวที่ออกมา ตามหลักความน่าจะเป็น ค่าคาดหวัง (expected value) ของจำนวนหัวก็คือ 1 แต่อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นที่ผลที่ได้เป็นเช่นค่าคาดหวังเสมอไป ถ้าลองคำนวณดูจะพบว่า ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 1 ครั้งพอดี มีค่าเท่ากับ 0.5 เท่านั้น
แล้วความน่าจะเป็นที่เราคำนวณมาเนี่ยะ มันจะมีประโยชน์อะไร? เช่นถ้าเราบอกว่าเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น 0.5 จริง ๆ แล้วมีความหมายอะไรหรือไม่?
ถ้าถกกันเรื่องความหมายแล้ว จริง ๆ ก็ตอบได้ยาก แต่ถ้าเรายึดโมเดลมาตรฐานทั่วไปของความน่าจะเป็น เราสามารถแสดง "ความหมาย" ของตัวเลขความน่าจะเป็นพอได้บ้าง
ความเข้าใจหนึ่งที่เรามีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือจำนวนครั้ง โดยเฉลี่ย ที่เหตุการณ์หนึ่ง ๆ จะเกิดขึ้น แน่นอนคำว่าโดยเฉลี่ยนั้น มีนัยยะของจำนวนอยู่ด้วย นั่นคือ ยิ่งมีการทดลองมากครั้งเข้า จำนวนครั้งของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เรานับได้ ก็ควรจะมีสัดส่วนเข้าใกล้กับความน่าจะเป็น นี่คือ "กฎแห่งการมีจำนวนมาก" หรือ Law of large number (ดูเพิ่มที่ en.wikipedia.org)
ถ้าเราจะอธิบายในเชิงคณิตศาสตร์ เราก็อาจเขียนได้ดังนี้ (นี่คือรูปของ weak law of large numbers): ให้ $X_1,X_2,\ldots$ เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม ที่ไม่ขึ้นต่อกัน มีค่าคาดหวัง $\mu$ และค่าความแปรปรวน $\sigma^2$ ให้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม $n$ ตัวแรก $\bar{X}_n = (X_1 + X_2 +\cdots + X_n)/n$ สำหรับ $\epsilon$ ใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์
สำหรับการพิสูจน์จะมาเขียนต่ออีกครั้ง
ให้เหรียญที่เที่ยงตรงมาหนึ่งอัน โยน 2 ครั้ง แล้วนับจำนวนหัวที่ออกมา ตามหลักความน่าจะเป็น ค่าคาดหวัง (expected value) ของจำนวนหัวก็คือ 1 แต่อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นที่ผลที่ได้เป็นเช่นค่าคาดหวังเสมอไป ถ้าลองคำนวณดูจะพบว่า ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 1 ครั้งพอดี มีค่าเท่ากับ 0.5 เท่านั้น
แล้วความน่าจะเป็นที่เราคำนวณมาเนี่ยะ มันจะมีประโยชน์อะไร? เช่นถ้าเราบอกว่าเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น 0.5 จริง ๆ แล้วมีความหมายอะไรหรือไม่?
ถ้าถกกันเรื่องความหมายแล้ว จริง ๆ ก็ตอบได้ยาก แต่ถ้าเรายึดโมเดลมาตรฐานทั่วไปของความน่าจะเป็น เราสามารถแสดง "ความหมาย" ของตัวเลขความน่าจะเป็นพอได้บ้าง
ความเข้าใจหนึ่งที่เรามีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือจำนวนครั้ง โดยเฉลี่ย ที่เหตุการณ์หนึ่ง ๆ จะเกิดขึ้น แน่นอนคำว่าโดยเฉลี่ยนั้น มีนัยยะของจำนวนอยู่ด้วย นั่นคือ ยิ่งมีการทดลองมากครั้งเข้า จำนวนครั้งของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เรานับได้ ก็ควรจะมีสัดส่วนเข้าใกล้กับความน่าจะเป็น นี่คือ "กฎแห่งการมีจำนวนมาก" หรือ Law of large number (ดูเพิ่มที่ en.wikipedia.org)
ถ้าเราจะอธิบายในเชิงคณิตศาสตร์ เราก็อาจเขียนได้ดังนี้ (นี่คือรูปของ weak law of large numbers): ให้ $X_1,X_2,\ldots$ เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม ที่ไม่ขึ้นต่อกัน มีค่าคาดหวัง $\mu$ และค่าความแปรปรวน $\sigma^2$ ให้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม $n$ ตัวแรก $\bar{X}_n = (X_1 + X_2 +\cdots + X_n)/n$ สำหรับ $\epsilon$ ใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์
- $\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr[|\bar{X}_n-\mu|<\epsilon] = 1$
สำหรับการพิสูจน์จะมาเขียนต่ออีกครั้ง
Comments